Почему мембрана держит, а балка гнётся: механика растянутых конструкций

Два способа нести нагрузку

Вся строительная механика, если смотреть на неё издалека, знает два принципиально разных способа передать нагрузку на опоры: изгибом и осевым усилием.

Балка работает изгибом. Возьмем сечение изгибаемой балки и посмотрим на эпюру нормальных напряжений: максимум на кромках, ноль на нейтральной оси. Весь материал вблизи середины высоты сечения фактически «едет пассажиром» — он нужен лишь для того, чтобы удерживать полки на расстоянии друг от друга. Именно поэтому изгибаемые конструкции с ростом пролёта тяжелеют катастрофически быстро: момент растёт пропорционально квадрату пролёта, а плечо внутренней пары ограничено строительной высотой. Для пролётов до 18–24 м это не создает проблем. На 60–100 метрах изгибная схема превращается в борьбу конструкции с собственным весом, где полезная нагрузка становится второстепенной добавкой.

Гибкая нить работает иначе. Она в принципе не способна воспринять ни изгиб, ни сжатие — и в этой «неспособности» скрыт её главный ресурс. Нить отвечает на любую нагрузку единственным доступным ей образом: изменением геометрии до тех пор, пока равнодействующая внутреннего растяжения в каждой точке не уравновесит внешние силы. В результате каждый квадратный миллиметр сечения напряжен одинаково и полностью. Коэффициент использования материала — единица. Добавим сюда прочность современных стальных канатов (временное сопротивление проволоки 1770 МПа и выше против 345–440 МПа у прокатной стали) — и станет понятно, почему все рекордные пролёты в истории строительства, от мостов до стадионов, принадлежат растянутым системам.

У этой медали есть оборотная сторона, и она определяет всю специфику проектирования, которой посвящён настоящий цикл: растянутая конструкция не имеет собственной формы. Форму ей задает нагрузка.

Форма = функция усилий

Для изгибаемой балки геометрия — исходное данное: конструктор назначает сечение, а усилия вычисляются на заданной геометрии. Для нити, сети или мембраны все наоборот: геометрия является результатом равновесия и меняется вместе с нагрузкой.

Классическая иллюстрация — гибкая нить пролётом l со стрелой провисания f под равномерно распределённой нагрузкой q. Горизонтальная составляющая натяжения (распор) определяется известной формулой:

H = q·l² / (8·f)

Сама формула элементарна, но выводы из неё — фундамент всего проектирования висячих систем. Возьмем численный пример: пролёт 60 м, погонная нагрузка 20 кН/м.

• При стреле f = 6 м (f/l = 1/10) распор H = 20·60²/(8·6) = 1500 кН;
• При стреле f = 3 м (f/l = 1/20) распор удваивается: 3000 кН;
• При f → 0 распор стремится к бесконечности — плоская нить теоретически не способна нести поперечную нагрузку.

Отсюда три следствия, с которыми расчётчик растянутых систем живёт постоянно.

Первое: распор нужно куда-то девать. В отличие от балки, висячая система передаёт на опоры не только вертикальную реакцию, но и мощное горизонтальное усилие. Оттяжки и анкерные фундаменты, наклонные пилоны, замкнутый опорный контур, работающий на сжатие, — весь арсенал конструктивных решений висячих покрытий это, по существу, различные ответы на вопрос «куда деть распор». Замечу, что самое элегантное решение — замкнуть усилия внутри системы: сжатое наружное кольцо + растянутое внутреннее (схема «велосипедного колеса») делает покрытие внешне безраспорным.

Второе: пологость стоит дорого. Архитектура почти всегда просит пологую, «летящую» форму, а каждая ступень пологости оплачивается ростом усилий, сечений канатов, анкеров и опорного контура. Поиск баланса между стрелой провисания и распором — первое, что я делаю на стадии концепции, ещё до построения какой-либо конечно-элементной модели: формула из четырёх величин даёт порядок усилий за минуту и служит потом контрольной точкой для проверки машинного расчёта.

Третье: усилие в нити не равно распору. Полное натяжение N = H·√(1+tg²α) максимально у опор, где наклон нити наибольший. Для пологих систем разница невелика, но при f/l > 1/8 забывать о ней уже нельзя.

Для мембраны — континуального аналога системы нитей — ту же роль играет уравнение равновесия элемента поверхности (частный случай уравнения Лапласа):

n₁/R₁ + n₂/R₂ = p

где n₁, n₂ — погонные усилия в двух главных направлениях, R₁, R₂ — главные радиусы кривизны, p — давление на поверхность. Из него виден ключевой геометрический принцип: чем меньше радиус кривизны (чем «круче» выгнута поверхность), тем меньшими усилиями воспринимается та же нагрузка. Плоских мембран не бывает по той же причине, по которой не бывает плоских нитей.

Кинематические перемещения: почему висячие системы «дышат»

Вторая особенность гибких систем тоньше и коварнее первой. Перемещения нити складываются из двух принципиально разных частей: упругих (от удлинения материала) и кинематических — от изменения формы равновесия без какого-либо удлинения.

Нить, несущая равномерную нагрузку по квадратной параболе, при приложении односторонней (например, снеговой мешок на половине пролёта) нагрузки меняет форму: догруженная половина опускается, разгруженная — поднимается. Канат при этом почти не удлиняется, материал практически не сопротивляется — система перемещается «бесплатно». Кинематические перемещения на порядок превышают упругие и не зависят от того, насколько мощный канат мы поставим: увеличение сечения здесь почти ничего не даёт. Это принципиально неинтуитивный для «балочного» мышления факт: жёсткость гибкой системы определяется не сечением, а геометрией и уровнем натяжения.

Борьба с кинематическими перемещениями (в нормативной терминологии — стабилизация покрытия) породила все многообразие висячих систем, к классификации которых мы переходим:

• Пригруз — тяжёлые плиты покрытия, замоноличивание швов, обжатие (так стабилизированы классические советские висячие оболочки);
• Преднапряжение — второй пояс канатов противоположной кривизны, либо оттяжки, либо предварительно напряжённая мембрана: система, натянутая «сама против себя», приобретает геометрическую жёсткость;
• Изгибная жёсткость — переход от гибких нитей к жёстким вантам (изгибно-жёстким лентам, фермам), воспринимающим локальные эффекты изгибом.

Классификация: карта растянутых систем

Приведу рабочую классификацию, совместимую со структурой СП 494.1325800.2020 «Конструкции покрытий пространственные металлические» (раздел 8 — вантовые (висячие) системы; раздел 5.5 — стальные канаты и анкерные устройства).

Однопоясные висячие покрытия. Система параллельных или радиальных нитей/вант с настилом. Простейшая и самая «кинематически подвижная» схема; требует стабилизации пригрузом или предварительным обжатием. Классика жанра — висячие железобетонные оболочки на вантах.

Двухпоясные вантовые системы. Несущий (провисающий) и стабилизирующий (выпуклый) пояса, связанные распорками или растяжками. Взаимное преднапряжение поясов даёт жёсткость при малом весе. Плоские двухпоясные фермы Яверта, радиальные системы.

Системы типа «велосипедное колесо» (СП 494, п. 8.4). Радиальные ванты или вантовые фермы между наружным сжатым и внутренним растянутым кольцами. Усилия замкнуты в контуре, покрытие безраспорно. Сегодня это, пожалуй, самая востребованная схема для стадионов: почти все крупные футбольные арены последнего десятилетия, включая построенную к ЧМ-2018 «Волгоград Арену» с её эффектной консольной вантовой крышей, — вариации на тему велосипедного колеса.

Вантовые сети (cable net). Ортогональная или радиальная сеть канатов двух направлений противоположной кривизны, натянутых друг против друга, — седловидная (антикластическая) поверхность. Ограждение (стекло, поликарбонат, оргстекло, мембрана) навешивается на сеть. Именно вантовым сетям посвящена значительная часть творчества Фрая Отто.

Мембраны металлические. Тонкий (0,5–6 мм) стальной или алюминиевый лист, совмещающий несущую и ограждающую функции. Направление, доведённое до совершенства советской инженерной школой (об этом ниже); нормативные требования к тонколистовым мембранным конструкциям — СП 494, п. 5.3. Фундаментальная монография — В.И. Трофимов, «Мембранные конструкции зданий и сооружений» (1990).

Мембраны тентовые (tensile membrane). Предварительно напряжённые полотнища из ПВХ-полиэстера, ПТФЭ-стеклоткани, подушки и пленки ETFE. Несущая способность обеспечивается исключительно преднапряжением и двоякой кривизной; форма находится методами form finding — этому будет посвящена следующая статья цикла.

Комбинированные и тенсегрити-системы. Вантово-стержневые структуры, в которых сжатые стойки «плавают» в непрерывной сети растянутых элементов (термин Б. Фуллера: tensional integrity). Практическое воплощение в большепролётном строительстве — канатные купола (cable dome) Гейгера и Леви. Расчёту вантово-стержневых систем посвящена одноименная монография А.В. Перельмутера (1969) — книга, которой в этом году исполняется 57 лет и которая не потеряла актуальности ни на страницу.

Немного истории: от Шухова до наших дней

Инженерная история растянутых покрытий начинается не в Штутгарте и не в Мюнхене, а в Нижнем Новгороде.

1896, Всероссийская выставка в Нижнем Новгороде. В.Г. Шухов строит четыре павильона с висячими сетчатыми покрытиями из стальных полос и знаменитую ротонду диаметром 68 м, центральная часть которой перекрыта висячей стальной мембраной из тонкого листа — первое в мире висячее металлическое мембранное покрытие. Патенты Шухова 1895–1899 годов на сетчатые покрытия опередили мировую практику более чем на полвека. Здесь же — первая гиперболоидная водонапорная башня, родоначальница семейства, к которому принадлежит и московская башня на Шаболовке (1922).

1952, Роли, США. Арена Дортона (Dorton Arena, инженер Ф. Северуд по замыслу М. Новицкого): седловидная вантовая сеть, натянутая между двумя наклонными железобетонными арками. С этого объекта принято отсчитывать современную эпоху висячих покрытий; за ним последовали хоккейный каток Йельского университета Э. Сааринена (1958) и десятки арен по всему миру.

1967–1972, Фрай Отто. Павильон ФРГ на Expo-67 в Монреале и главный манифест эпохи — комплекс Олимпийского стадиона в Мюнхене (1972, архитекторы Г. Бениш и Ф. Отто, расчёт — Й. Шлайх и команда Leonhardt+Andrä): около 75 000 м² вантовых сетей под панелями из оргстекла. Мюнхенское покрытие важно для нашего цикла вдвойне: именно на этом проекте физическое моделирование (мыльные пленки, тканевые и проволочные модели) впервые в таком масштабе было соединено с численным поиском формы — Клаус Линквиц и его группа разработали для Мюнхена метод плотности сил (Force Density Method), с которого начинается вычислительный form finding. К этой истории мы вернемся в статье A2.

1979–1980, советская мембранная школа. К Олимпиаде-80 в Москве реализуется серия уникальных металлических мембран, не имевших мировых аналогов по масштабу: покрытие спорткомплекса «Олимпийский» — эллиптическая мембрана размерами в плане 224×183 м из стального листа толщиной 5 мм; велотрек в Крылатском — седловидная мембрана 168×138 м из полос толщиной 4 мм на наклонных арках; универсальный зал «Дружба» в Лужниках. Идеолог и руководитель этого направления — В.И. Трофимов (ЦНИИСК); его монография обобщает опыт проектирования этих объектов и остается настольной книгой по металлическим мембранам. Теоретическую базу висячих систем в отечественной литературе закрывают учебники и монографии Н.М. Кирсанова («Висячие и вантовые конструкции», 1981) и упомянутая книга Перельмутера.

1990-е — наши дни. Канатный купол Джорджия-доум в Атланте (1992, М. Леви) — крупнейшее воплощение идей тенсегрити: овал 240×193 м. Терминал хаджа в Джидде и купол «Миллениум» в Лондоне — гигантские тентовые ансамбли. «Хан Шатыр» в Астане (2010, Foster + Partners) — вантово-мембранный шатёр высотой 150 м на наклонной мачте, самое узнаваемое tensile-сооружение постсоветского пространства. Allianz Arena в Мюнхене — фасады и кровля из пневмоподушек ETFE. И, наконец, целое поколение стадионных крыш «велосипедное колесо» 2010-х, включая российские арены ЧМ-2018.

Обратите внимание на характерную деталь: список рекордов растянутых конструкций — это одновременно список объектов, на которых инженеры не могли пользоваться привычным аппаратом линейной строительной механики. Каждый из них требовал нестандартных методов расчёта — и двигал эти методы вперед.

Что все это значит для расчётчика

Подведу итог вводной статьи тремя тезисами, которые зададут программу всего цикла.

Тезис 1. Расчёт растянутой системы начинается не с нагрузок, а с поиска формы. Геометрия мембраны или сети не назначается — она находится из условия равновесия при заданном преднапряжении. Пропустить этот этап и «нарисовать» поверхность в CAD — значит заложить в конструкцию паразитные усилия и складки ещё до приложения первой нагрузки. Методам form finding (Force Density, Dynamic Relaxation, нелинейный МКЭ) посвящена следующая статья цикла; её практическим продолжением станет разбор поиска формы штатными средствами геометрически нелинейного решателя ПК «ЛИРА 10».

Тезис 2. Линейный расчёт для гибких систем не просто неточен — он качественно неверен. Жёсткость висячей системы зависит от уровня натяжения, то есть от самой нагрузки; принцип суперпозиции не работает; расчётные сочетания нельзя собирать сложением результатов отдельных загружений. Это влечет вполне практические последствия для организации расчёта (полный перебор РСН вместо РСУ, шаговые нелинейные решатели, контроль сходимости) — им будут посвящены статьи «инструментальной» линии цикла.

Тезис 3. Растянутые системы не прощают доверчивости к программе. Я всегда подвергаю сомнению то, что выдаёт расчётный комплекс, — читатели моих разборов реальных проектов это знают. Для гибких систем это правило ужесточается: здесь ошибка в задании преднапряжения, модуля упругости каната или шага нелинейного нагружения не «слегка искажает» результат, а меняет саму равновесную форму конструкции. Хорошая новость в том, что у растянутых систем есть и удобные рычаги контроля: формула распора, уравнение Лапласа, аналитические решения для нити — прикидочный расчёт на четверть страницы позволяет поймать грубую ошибку машинной модели до того, как она попадет в проект. Системе таких проверок я посвящу отдельный большой материал.

Пролёты, которые архитектура будет просить у инженеров в ближайшие десятилетия, изгибом уже не перекрыть. Осталось научиться уверенно считать то, что держит форму натяжением.

Литература и нормативные документы

• СП 494.1325800.2020. Конструкции покрытий пространственные металлические. Правила проектирования.
• СП 20.13330.2016. Нагрузки и воздействия.
• ГОСТ 27751-2014. Надёжность строительных конструкций и оснований.
• Трофимов В.И. Мембранные конструкции зданий и сооружений. — М.: Стройиздат, 1990.
• Кирсанов Н.М. Висячие и вантовые конструкции. — М.: Стройиздат, 1981.
• Перельмутер А.В. Основы расчёта вантово-стержневых систем. — М.: Стройиздат, 1969.
• Перельмутер А.В., Сливкер В.И. Расчётные модели сооружений и возможность их анализа. — М.: СКАД СОФТ, 2011.