Form finding: почему растянутой конструкции нельзя «нарисовать» форму

Эксперимент, который я предлагаю провести мысленно

Представим, что архитектор передал нам красивую поверхность будущего тентового навеса — смоделированную в CAD, сглаженную, отрендеренную. Мы честно перенесли её в расчётный комплекс, задали мембранные элементы, приложили преднапряжение и нагрузки. Что произойдёт?

Произойдет одно из двух, и оба варианта плохие. Либо решатель, отработав, покажет дикую картину усилий: рядом с зонами двукратного перенапряжения — зоны, где усилия упали до нуля и мембрана «захлопала» (сжатие ткань не держит, она отвечает на него складками). Либо, что коварнее, расчёт formально пройдет, а реальная конструкция после натяжения примет форму, не имеющую ничего общего с рендером: полотно само найдёт своё равновесие, проигнорировав наши чертежи.

Причина обоих исходов одна, и мы сформулировали её в прошлой статье: растянутая конструкция не имеет собственной формы — форму ей задает поле усилий. Произвольно нарисованная поверхность и произвольно назначенное преднапряжение почти никогда не совместимы: не существует такого распределения усилий, которое удерживало бы выдуманную геометрию в равновесии. Что-то одно придётся искать из условия равновесия: либо усилия по заданной форме, либо форму по заданным усилиям.

Инженерная практика выбрала второе, и этот выбор не случаен. Уровнем преднапряжения мы управляем осознанно — от него зависят и устойчивость формы при ветре, и долговечность полотна, и усилия в кромочных канатах. Геометрия же — производная величина. Задача звучит так: при заданном преднапряжении и заданных граничных условиях (опорный контур, мачты, кромочные канаты) найти поверхность, находящуюся в равновесии. В мировой литературе она называется form finding — поиск формы; в отечественной традиции — задача формообразования или начального равновесия.

Мыльные пленки: аналоговый компьютер Фрая Отто

Прежде чем задача поиска формы стала вычислительной, она была экспериментальной, и главная лаборатория здесь — Институт лёгких конструкций (IL) Фрая Отто в Штутгарте, основанный в 1964 году.

Инструментом Отто была мыльная пленка. Обмакните проволочный контур в мыльный раствор — и пленка мгновенно решит задачу, над которой мы бьемся численными методами: примет форму равновесия. Причем равновесия особого рода. Поверхностное натяжение пленки одинаково во всех точках и во всех направлениях; вспомним уравнение равновесия элемента поверхности из первой статьи:

n₁/R₁ + n₂/R₂ = p

При равных усилиях n₁ = n₂ и нулевом перепаде давления (p = 0) уравнение вырождается в условие 1/R₁ + 1/R₂ = 0, то есть R₁ = −R₂: главные кривизны равны по величине и противоположны по знаку в каждой точке. Это минимальная поверхность — поверхность наименьшей площади среди всех, натянутых на данный контур. Математики занимаются ими со времен Эйлера и Плато (классическая «задача Плато»); из аналитических примеров инженеру полезнее всего катеноид — минимальная поверхность вращения между двумя кольцами, отличный тест для проверки численных методов.

Отто использовал мыльные пленки как аналоговый компьютер: контур из проволоки и нити — минута ожидания — фотограмметрия — готовая равновесная геометрия с идеально равномерным преднапряжением. Павильон ФРГ в Монреале (1967) и сети Мюнхена-1972 выросли из этих экспериментов. Но у аналогового компьютера обнаружились пределы, и они важны для понимания всего дальнейшего.

Предел первый — конструктивный. Минимальная поверхность равнонапряжена в состоянии преднапряжения, но никто не обещал, что она останется разумной под снегом и ветром. Пологие зоны минимальных поверхностей плохо сбрасывают воду и снег; иногда конструктору выгоднее «переднапрячь» одно направление относительно другого (n₁ ≠ n₂), сознательно уйдя от минимальной поверхности к более острой форме. Общая задача form finding — поиск равновесия при заданном соотношении усилий, и минимальная поверхность лишь её частный случай.

Предел второй — точность. Мюнхенский проект это показал наглядно: точности обмера мыльных и тканевых моделей не хватало для раскроя реальных канатных сетей с их жёсткими допусками. Именно на Мюнхене группа Клауса Линквица в Штутгарте перевела задачу с языка пленок на язык уравнений — так родился первый численный метод поиска формы, с которого мы и начнем обзор.

Три семейства численных методов

За полвека вычислительный form finding разросся в целую дисциплину, но все практически значимые методы группируются в три семейства. Для инженера-расчётчика полезно понимать внутреннюю механику каждого — хотя бы для того, чтобы знать, чему доверяет кнопка «найти форму» в его софте.

Метод плотности сил (Force Density Method)

Метод, созданный Х.-Й. Шеком и К. Линквицем для мюнхенских сетей (публикации 1971–1974 гг.), решает задачу для дискретной системы — сети канатов. Главная идея настолько элегантна, что заслуживает пересказа.

Уравнения равновесия узла сети нелинейны, потому что содержат отношение усилия в канате N к его длине L, а длина сама зависит от искомых координат. Шек предложил считать заданной не силу, а отношение:

q = N / L — «плотность силы»

Если для каждого элемента сети зафиксировать q, уравнения равновесия узлов становятся линейными относительно координат. Одна система линейных уравнений — и равновесная геометрия сети найдена, без итераций, без начального приближения, без каких-либо жёсткостей и вообще без физики материала. Для 1970-х годов, когда счёт шёл на минуты машинного времени, это было спасением; впрочем, и сегодня скорость и безотказность делают метод плотности сил идеальным инструментом первых итераций концепции.

Плата за линейность: мы задаем плотности сил, а не сами усилия. Какие усилия получатся в найденной форме — узнаем после решения; если хочется выйти на заданное преднапряжение, приходится подбирать q итерационно (нелинейные расширения метода Шек описал в той же классической работе). Для сплошных мембран метод применяется через аппроксимацию поверхности эквивалентной сетью.

Динамическая релаксация (Dynamic Relaxation)

Второе семейство идёт от работы А. Дэя (1965) и было доведено до совершенства применительно к мембранам М. Барнсом. Идея: превратить статическую задачу в фиктивную динамическую. Узлам системы назначаются фиктивные массы, задается стартовая (пусть даже грубая) геометрия — и система «отпускается»: неуравновешенные усилия разгоняют узлы, и модель начинает колебаться вокруг положения равновесия.

Осталось погасить колебания. Самый красивый приём здесь — кинетическое демпфирование: программа отслеживает суммарную кинетическую энергию системы и в момент её пика обнуляет все скорости. Пик кинетической энергии проходится вблизи положения равновесия — поэтому каждое такое «замораживание» приближает систему к искомой форме. Несколько десятков циклов — и конструкция «успокаивается» в равновесии.

Динамическая релаксация не требует формирования и обращения матрицы жёсткости (все вычисления поузловые), устойчива на сильно нелинейных задачах и одинаково охотно ищет форму сети, мембраны и изгибно-жёсткого элемента. Недостатки — обратная сторона достоинств: скорость сходимости зависит от настройки фиктивных масс и шага интегрирования, а для больших систем метод медленнее прямых решателей. Замечу для читателей, следящих за инструментами: именно динамическая релаксация работает внутри многих популярных «дизайнерских» form-finding-движков, включая физический решатель Kangaroo в среде Rhino/Grasshopper.

Нелинейный МКЭ и стратегия обновляемой геометрии

Третье семейство — родное для расчётчика: искать форму тем же аппаратом конечных элементов, которым мы потом будем считать конструкцию на нагрузки. Постановка честная: задаем мембранные/вантовые КЭ, назначаем требуемое преднапряжение, включаем геометрическую нелинейность и решаем задачу равновесия, позволяя геометрии меняться от итерации к итерации.

Здесь есть математическая тонкость, о которой стоит знать. Задача «найти форму по заданным напряжениям» вырождена: касательная матрица жёсткости сингулярна, ведь мембрана без изгибной жёсткости может скользить «вдоль самой себя», не меняя напряжённого состояния. Строгое лекарство предложили К.-У. Блетцингер и Э. Рамм — стратегию обновляемой отсчётной конфигурации (Updated Reference Strategy, 1999): задача регуляризуется смешиванием с устойчивой вспомогательной постановкой, и доля вспомогательной части сводится к нулю по мере приближения к равновесию. Это ядро современных профессиональных мембранных модулей.

Инженерная практика давно использует и упрощенную версию того же подхода, реализуемую в любом комплексе с геометрически нелинейным решателем: элементам будущей мембраны назначаются малые фиктивные жёсткости (чтобы подавить вырожденность), задается преднапряжение, и шаговым нелинейным расчётом система приводится к равновесной форме; найденная геометрия «замораживается», жёсткости возвращаются к реальным — и модель готова к расчёту на нагрузки. По существу это ручная регуляризация той же вырожденной задачи. Ее сильная сторона — никакого дополнительного софта; слабая — необходимость контролировать процесс: следить за вырождением элементов сетки, за равномерностью достигнутого преднапряжения, за сходимостью шагового решателя.

Сводное сравнение

Что доступно инженеру в отечественных комплексах

Теперь главный практический вопрос. Специализированного модуля form finding с кнопкой «найти минимальную поверхность» в ПК «ЛИРА 10» нет — как нет его и в большинстве универсальных отечественных МКЭ-комплексов. Означает ли это, что расчёт тентовой конструкции без импортного спецсофта невозможен? Нет — и это принципиальный для меня тезис.

Все необходимое для третьего из описанных путей в «ЛИРЕ 10» имеется: геометрически нелинейные вантовые и мембранные конечные элементы, задание преднапряжения, шаговый нелинейный решатель. Значит, доступна инженерная реализация поиска формы через нелинейный МКЭ: стартовая (даже плоская) сетка с малыми жёсткостями → преднапряжение → шаговое геометрически нелинейное решение → равновесная форма → фиксация геометрии. Этому практикуму будет целиком посвящена следующая статья инструментальной линии цикла — с настройками решателя, типичными ошибками и, разумеется, диаграммой сходимости, без которой я не веду ни один итерационный процесс.

Верификация здесь обязательна, и у неё есть удобные опорные точки. Первая — аналитика: найденную численно форму катеноида между двумя кольцами можно сверить с точным решением с точностью до миллиметров; расхождение сразу выдаёт ошибку в постановке. Вторая — контроль равномерности: изополя усилий в найденной форме при заданном изотропном преднапряжении обязаны быть равномерными; пятнистость картины — признак несошедшегося процесса или вырожденных элементов. Третья — независимый метод: форму, найденную нелинейным МКЭ, полезно хотя бы для контрольных точек сверить с решением по методу плотности сил (его несложно запрограммировать самостоятельно — это одна линейная система). Читатели моих разборов знают: я всегда подвергаю сомнению то, что выдаёт программа, — и form finding не исключение, а самый яркий повод для этого правила.

Нормативный контекст тоже на месте: СП 494.1325800.2020 прямо требует определения начальной равновесной формы и учёта геометрической нелинейности при расчёте вантовых систем — то есть form finding для российского проектировщика не экзотика, а нормируемый этап расчёта.

Чем поиск формы не заканчивается

Закончу тем, что убережет от иллюзии «нашли форму — задача решена». Form finding — первый этап технологической цепочки, и у неё есть продолжение.

• Расчёт на нагрузки. Найденная равновесная форма с преднапряжением становится отсчётной конфигурацией для геометрически нелинейного расчёта на снег, ветер и температуру — со всеми особенностями, о которых мы говорили в первой статье (никакой суперпозиции, полный перебор сочетаний).
• Оценка формы по существу. Кривизны, уклоны для водоотвода, зоны возможного скопления снега, минимальный уровень усилий под неблагоприятными сочетаниями (мембрана нигде не должна «выключаться») — форма, идеальная в состоянии преднапряжения, может потребовать корректировки после первых же расчётов на нагрузки. Поиск формы на практике — процесс циклический.
• Раскрой. Поверхность двоякой кривизны не разворачивается на плоскость без искажений, а ткань до преднапряжённого состояния должна дотянуться — полотнища кроятся по геодезическим линиям с компенсацией (уменьшением размеров) под будущую вытяжку. Раскрой — отдельная дисциплина на стыке с технологией производства, и о ней мы поговорим в статье о геометрии тентовых мембран.

Но все начинается с равновесной формы. Нарисовать её нельзя — можно только найти. В следующий раз — найдём: в «ЛИРЕ 10», пошагово, с проверками.

Литература и нормативные документы

• СП 494.1325800.2020. Конструкции покрытий пространственные металлические. Правила проектирования.
• Отто Ф., Тростель Р. Пневматические строительные конструкции. — М.: Стройиздат, 1972 (пер. с нём.).
• Трофимов В.И. Мембранные конструкции зданий и сооружений. — М.: Стройиздат, 1990.
• Кирсанов Н.М. Висячие и вантовые конструкции. — М.: Стройиздат, 1981.
• Schek H.-J. The force density method for form finding and computation of general networks // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. 1974. Vol. 3.
• Day A.S. An introduction to dynamic relaxation // The Engineer. 1965. Vol. 219.
• Barnes M.R. Form finding and analysis of tension structures by dynamic relaxation // International Journal of Space Structures. 1999. Vol. 14, № 2.
• Bletzinger K.-U., Ramm E. A general finite element approach to the form finding of tensile structures by the updated reference strategy // International Journal of Space Structures. 1999. Vol. 14, № 2.
• Forster B., Mollaert M. (eds.) European Design Guide for Tensile Surface Structures. — TensiNet, 2004.