Диаграмма сходимости: мой главный инструмент контроля итерационных расчётов в ЛИРЕ 10

Откуда в статическом расчёте берутся итерации

Начну с вопроса, который регулярно ставит в тупик молодых расчётчиков: почему статический расчёт плиты на упругом основании в Лире выполняется не один раз, а пять–десять раз подряд?

Дело в том, что задача «конструкция на грунтовом основании» — связанная. Жёсткость основания под фундаментной плитой (коэффициенты постели C₁, C₂ в модели Пастернака) зависит от напряжений в грунте, то есть от давления, которое передаёт плита. А давление, которое передаёт плита, зависит от распределения жёсткости основания: где грунт жестче, туда конструкция «стягивает» больше нагрузки. Круг замкнулся: чтобы посчитать одно, нужно знать другое.

По третьему закону Ньютона отпор грунта и давление фундамента на основание обязаны быть равны друг другу в каждой точке контакта. Но вычислительно эти два параметра живут в разных мирах: давление — результат конечно-элементного расчёта конструкции на текущем поле коэффициентов постели, а коэффициенты постели — результат расчёта осадок грунтового массива (в моих расчётах — по схеме линейно деформируемого полупространства, п. 5.6.31 СП 22.13330.2016) от текущего поля давлений. Две системы уравнений, не связанные между собой ничем, кроме численных значений входных параметров, которые каждая из них берёт из результатов другой.

Разработчики 10-го поколения ПК «Лира» решили эту задачу классическим методом последовательных приближений. Назначаем стартовое поле коэффициентов постели → считаем конструкцию → получаем давления → пересчитываем осадки и коэффициенты постели → снова считаем конструкцию. Каждый такой цикл и есть итерация. Если процесс устойчив, поля давления и отпора с каждым шагом сближаются, и через несколько итераций конструкция и основание «договариваются» между собой.

Вопрос, на который алгоритм сам по себе не отвечает: когда останавливаться?

Диаграмма сходимости: как я слежу за процессом

Мой ответ на этот вопрос — диаграмма сходимости, которую я веду в каждом итерационном расчёте. Приём элементарный, но именно он превращает последовательность запусков решателя из ритуала в управляемый процесс.

По горизонтальной оси откладываю номер итерации. По вертикальной — контрольную величину, за которой слежу. Принципиальный момент: контрольная величина выбирается не из соображений вычислительной математики, а из соображений конструирования. Обычно это максимальная осадка плиты и/или экстремальный изгибающий момент в характерном сечении — то есть те числа, по которым я потом буду подбирать армирование. Иногда добавляю вторую кривую — коэффициент постели в заранее выбранной «проблемной» точке (например, над линзой слабого грунта).

Критерий остановки формулирую так: итерации прекращаются, когда контрольная величина стабилизировалась с точностью, заведомо меньшей точности конструирования. Если момент в плите от 9-й к 10-й итерации меняется на доли процента, а армирование я в любом случае подбираю с округлением до сортамента, гонять решатель дальше бессмысленно — точность расчётной модели давно уступила место точности исходных данных о грунте.

Конкретный пример из практики — расчёт аэротенков в Курске: сооружение 100×48 м, фундаментная плита на естественном основании, под частью пятна — линза мягкопластичных суглинков с органикой. Диаграмма сходимости показала, что 9-й шаг был уже настолько точным, что все последующие итерации существенно не влияли на уточнение результата. Одна итерация на этой модели считалась чуть более 10 минут; с учётом перезапусков полный расчёт системы «конструкция — основание» занимал до двух часов. И это — на одно расчётное сочетание.

Здесь всплывает деталь, о которой часто забывают: система «конструкция — основание» пересчитывается заново при каждом изменении рассматриваемого сочетания — при переходе от нормативных нагрузок к расчётным, от длительных к кратковременным. Поле коэффициентов постели, найденное для одного уровня нагружения, строго говоря, не годится для другого. Организация этого перебора — вопрос методологии конкретного расчёта, и его надо продумывать до запуска первой итерации, а не после.

Чему учит форма кривой

Диаграмма сходимости ценна не только точкой остановки. Сама форма кривой — диагностический инструмент, и я выделяю четыре характерных сценария.

Монотонная стабилизация — здоровый процесс: кривая асимптотически выходит на полку. Так ведут себя корректно поставленные задачи с плавным изменением жёсткостей основания.

Затухающая осцилляция — контрольная величина колеблется вокруг предельного значения с уменьшающейся амплитудой. Процесс сходится, но медленнее; чаще встречается при резких перепадах жёсткости основания (та самая линза слабого грунта под краем плиты). Останавливаться нужно позже, чем кажется: взяв значение на «горбе» осцилляции, легко ошибиться в опасную сторону.

Незатухающая осцилляция — кривая скачет между двумя уровнями и не собирается сходиться. Для меня это красный флаг модели, а не повод усреднить два значения: как правило, виновата резкая граница жёсткостей, выключающиеся связи на краю плиты или ошибка в назначении грунтовых характеристик. Лечится не увеличением числа итераций, а правкой схемы.

Дрейф без стабилизации — величина монотонно растёт или падает без признаков полки. Самый коварный сценарий: внешне каждый шаг выглядит благополучно, и только диаграмма показывает, что процесс никуда не сходится. Здесь я останавливаюсь и ищу физическую причину — от опечатки в модуле деформации до принципиальной неустойчивости схемы (плита «сползает» с жёсткой зоны на мягкую).

Именно поэтому я не доверяю единственному числу «невязка меньше допуска», которое выдаёт любой автоматический критерий: одно число не различает четыре описанных сценария, а кривая — различает.

Версия 2024: итерации автоматизированы. Что это меняет

В ПК «ЛИРА 10» версии 2024 работу с итерациями «конструкция — основание» взяла на себя программа: цикл пересчёта коэффициентов постели запускается и останавливается автоматически, без ручных перезапусков решателя. Это реальная экономия времени — на модели уровня аэротенков счёт идёт на часы.

Означает ли это, что диаграмма сходимости отправляется на пенсию? Мой ответ — нет, и вот почему.

Во-первых, автоматический критерий остановки — это внутренняя невязка алгоритма. Программа не знает, что для меня в этом расчёте главное: осадка деформационного шва, момент в конкретном сечении или усилие в свае наружного кольца. Стабилизация глобальной невязки не гарантирует стабилизации именно той величины, которой я конструирую.

Во-вторых, автоматизация скрывает форму кривой. Незатухающую осцилляцию или дрейф автоматический процесс может «прервать по лимиту итераций» — и выдать результат, внешне неотличимый от сошедшегося. Читатели моих разборов знают принцип, которому я следую во всех расчётах: я всегда подвергаю сомнению то, что выдаёт программа. Итерационные процессы — то место, где этот принцип окупается быстрее всего.

В-третьих — и это я написал ещё в статье про аэротенки — у меня пока не было возможности оценить качество автоматических итераций на достаточном числе «боевых» моделей. Пока такая статистика не накоплена, мой рабочий регламент таков: автоматике — рутину, инженеру — контроль. Запускаю автоматический режим, затем вывожу историю итераций и строю ту же диаграмму по контрольным величинам. Стоимость этой проверки — минуты; стоимость пропущенной ложной сходимости в фундаментной плите под пятиметровым слоем сточных вод — несопоставимо выше.

Это касается не только грунтов

Диаграмма сходимости — приём универсальный, потому что итерационные процессы в современном расчёте повсюду, даже если слово «итерация» не написано на кнопке.

Шаговые нелинейные решатели. В физически и геометрически нелинейных задачах роль «номера итерации» играет номер шага нагружения, а роль диаграммы сходимости — зависимость контрольного перемещения или усилия от параметра нагрузки. Излом или ветвление этой кривой информативнее сотни изополей: он показывает момент образования пластического шарнира, выключения ванты, потери формы. К шаговым решателям мы вернемся отдельной статьей — там своя кухня выбора величины шага.

Контактные задачи и односторонние связи. Расчёт с отлипанием фундамента, выключающимися элементами и трением — это скрытый итерационный процесс поиска актуальной рабочей схемы: состав работающих связей уточняется от приближения к приближению. Контрольная величина здесь — площадь зоны контакта или число выключенных элементов; её стабилизация и есть сходимость.

Сходимость сетки. Наконец, сгущение конечно-элементной сетки — тоже итерационный процесс, только вручную управляемый: серия расчётов с уменьшающимся шагом триангуляции и контроль стабилизации усилий в характерных точках. Формально это другая задача, но дисциплина та же: следить не за красотой изополей, а за кривой контрольной величины.

Во всех трёх случаях работает один и тот же принцип, который я бы сформулировал так: сходимость — это свойство величины, которой вы конструируете, а не свойство протокола решателя.

Рабочий регламент: пять правил

• Выбирайте контрольные величины до запуска расчёта — те, по которым будете конструировать (осадка, момент, усилие в свае), плюс одну «сторожевую» точку в заведомо проблемной зоне.
• Ведите диаграмму сходимости по каждой контрольной величине; смотрите на форму кривой, а не только на последнее значение.
• Останавливайтесь, когда изменение контрольной величины стало заведомо меньше точности конструирования — и не раньше, чем кривая вышла на полку.
• Осцилляция без затухания и дрейф — повод править модель, а не увеличивать лимит итераций.
• В версии 2024 автоматический режим используйте как ускоритель, но выводите историю итераций и стройте диаграмму по своим контрольным величинам — автоматический критерий не знает, что для вас важно.

Диаграмма сходимости — инструмент на четверть часа работы в Excel. Но именно такие четверть часа отличают расчёт, которому можно доверить конструирование, от последовательности красивых картинок.

Литература и нормативные документы

• СП 22.13330.2016. Основания зданий и сооружений (пп. 5.6.7, 5.6.31).
• СП 24.13330.2021. Свайные фундаменты.
• СП 20.13330.2016. Нагрузки и воздействия.
• СП 430.1325800.2018. Монолитные конструктивные системы. Правила проектирования.
• Перельмутер А.В., Сливкер В.И. Расчётные модели сооружений и возможность их анализа. — М.: СКАД СОФТ, 2011.
• Горбунов-Посадов М.И., Маликова Т.А., Соломин В.И. Расчёт конструкций на упругом основании. — М.: Стройиздат, 1984.