Шаговый нелинейный решатель «ЛИРЫ 10»: как задать шаги, чтобы расчёт сошёлся

Зачем вообще шаги: две минуты теории

Линейный расчёт решает систему уравнений один раз: жёсткость конструкции постоянна, отклик пропорционален нагрузке, путь нагружения безразличен. У нелинейной системы жёсткость меняется по мере нагружения — из-за свойств материала (физическая нелинейность), изменения геометрии (геометрическая) или смены рабочей схемы (конструктивная: выключение вант, отлипание, контакт). Решать такую задачу «в лоб», приложив всю нагрузку сразу, — все равно что стрелять в движущуюся мишень по её вчерашним координатам.

Шаговый метод заменяет один нелинейный прыжок последовательностью коротких почти-линейных шагов: нагрузка прикладывается порциями, и на каждой порции система линеаризуется относительно текущего, уже деформированного и уже «повидавшего жизнь» состояния. Внутри шага решатель может дополнительно уточнять равновесие итерациями (шагово-итерационные схемы ньютоновского семейства) — и тогда у нас два вложенных процесса: шаги истории нагружения и итерации равновесия внутри шага. Различать их важно: сообщение «нет сходимости» относится к итерациям на конкретном шаге, но лечится чаще всего изменением самих шагов.

Из этой механики следуют два фундаментальных факта, которые я прошу принять до всяких настроек. Первый: для нелинейной системы важна траектория — итог зависит от порядка приложения нагрузок, и «сумма ответов на отдельные загружения» не равна «ответу на сумму» (о следствиях для сочетаний — в статье про РСН и РСУ, она впереди). Второй: шаговое решение — приближённое всегда, а не только когда решатель ругается; вопрос лишь в величине накопленной погрешности, и контролировать её — наша работа, не программы.

Что каждая нелинейность требует от шагов

Физическая нелинейность (диаграммы деформирования материалов, нелинейная деформационная модель СП 63 для железобетона) наказывает за крупный шаг в окрестности событий: трещинообразование, текучесть арматуры, площадка пластики. Жёсткость там меняется скачком, и шаг, перепрыгнувший событие, размазывает его по конструкции: момент трещинообразования смещается, перераспределение усилий искажается. Правило: мелко там, где ломается, — а где ломается, подсказывает предварительный линейный расчёт.

Геометрическая нелинейность (ванты, мембраны, гибкие стержни) чувствительна к шагу в зонах малой жёсткости: пока система не «выбрала» форму и не набрала натяжение, большой шаг уводит узлы в перехлёсты, из которых процесс уже не выбирается. Знакомо по поиску формы: мелкие шаги в начале, укрупнение к концу. Обратная ситуация у систем, теряющих устойчивость: там опасен конец траектории, у критической нагрузки, где касательная жёсткость падает к нулю.

Конструктивная нелинейность (односторонние связи, выключающиеся элементы, трение) дискретна по природе: рабочая схема меняется в момент выключения/включения связи. Крупный шаг, внутри которого выключилась пачка элементов, — типовой источник несходимости: система «не узнает себя» после смены схемы. Правило: шаг должен быть мельче «расстояния между событиями» — если на одном шаге выключаются десятки связей, шаг велик.

Комбинации нелинейностей складывают требования, а не усредняют их: физическая + геометрическая в одной модели означает мелкие шаги и в начале (форма), и у событий (трещины). Отсюда время счёта — и отсюда же соблазн сэкономить на шагах, за который нелинейный расчёт мстит особенно изобретательно.

Выбор шагов: мои рабочие правила

Стартовый ориентир — 20–50 равномерных шагов для «спокойных» задач (одна нелинейность, без событий). Меньше 10 шагов я не использую даже для прикидок: экономия минут не стоит потери контроля над траекторией.
Неравномерная разбивка — по физике задачи. Мягкий старт гибких систем и окрестности ожидаемых событий (трещинообразование, выключение связей, критическая нагрузка) дробятся в 3–5 раз мельче фона. Где ждать событий — показывают линейный прогон и простые оценки: момент трещинообразования сечения, эйлерова сила стойки считаются на четверть страницы.
Автоматический выбор шага — включать, но взнуздывать. Автоматика полезна как страховка: при несходимости итераций она дробит шаг и пробует снова. Но у неё есть слепое пятно: она реагирует на несходимость, а не предвидит события, и охотно шагает крупно там, где «всё спокойно» — в том числе мимо трещинообразования, которое итерациям не мешает, но результат искажает. Поэтому: автоматический режим + ограничение максимального шага + принудительно мелкая сетка шагов у известных событий.
Тест на независимость от разбиения — обязателен. Финальная проверка любого нелинейного расчёта: удваиваю число шагов и сравниваю контрольные величины. Расхождение в доли процента — разбиение достаточное; заметный сдвиг — считаю дальше мельче. Это прямой аналог проверки сходимости КЭ-сетки, только по оси нагружения, и стоит он один перезапуск.
Диаграмма «нагрузка — контрольное перемещение» — всегда. Строю её по результатам шагов для 2–3 контрольных точек (дисциплина та же, что в статье о диаграмме сходимости). Изломы кривой — события; их положение и должно быть накрыто мелкими шагами. Гладкая кривая при ожидавшихся событиях — повод не радоваться, а насторожиться: возможно, событие «размазано» крупным шагом.

Классическая боль: «монтаж + нелинейность не считается»

Формулировка из заголовка кочует по форумам годами, и за ней стоит настоящая, а не выдуманная сложность. Расчёт монтажа — это наследование напряжённо-деформированного состояния от стадии к стадии. Пока система линейна, наследование безобидно: НДС стадий складываются. Нелинейность ломает арифметику: состояние стадии N — не слагаемое, а начальное условие для стадии N+1, вместе с накопленными пластическими деформациями, раскрытыми трещинами, выбранной геометрией вант. Каждая стадия — свой шаговый нелинейный расчёт, стартующий из итогов предыдущего, и сбой наследования на любом стыке обесценивает всю цепочку.

Что я делаю на практике, когда нужен монтаж с нелинейностью:

Разделяю нелинейности по ролям. Геометрическая нелинейность вант и мембран в монтаже неустранима — она и есть предмет расчёта (натяжение по стадиям). А вот физическую нелинейность железобетона на монтажных стадиях часто можно честно заменить пониженными модулями по СП 63 — и оставить полную НДМ для проверок эксплуатационной стадии отдельной моделью. Две простые модели надёжнее одной всемогущей.
Проверяю каждый стык стадий. После перехода — контрольный дорасчёт без приращения нагрузки (приём из практикума по поиску формы): перемещения должны быть нулевыми. «Поехавший» стык означает потерю НДС при наследовании.
Держу контрольную сумму. Итог последней стадии сравниваю с расчётом «мгновенного возведения» на те же нагрузки: для геометрически нелинейных систем различие законно и информативно (это и есть эффект последовательности), но его знак и порядок должны объясняться физикой, а не удивлять.

И честное предупреждение: возможности совмещения режимов (монтаж × тип нелинейности × тип КЭ) зависят от версии и сборки комплекса. Перед тем как обещать заказчику «посчитаем стадийно с полной нелинейностью», я прогоняю пилотную модель из десятка элементов через весь маршрут — час работы, который не раз спасал недели.

Диагностика: читаем протокол, а не гадаем

Протокол расчёта — жанр, который никто не любит читать, пока не прижмет. Мой порядок разбора несходимости: найти первый проблемный шаг (лечить надо его, а не последний, где все окончательно развалилось), посмотреть, что происходило на предыдущем (какие элементы выключились, где максимальные приращения перемещений), и сопоставить с диаграммой «нагрузка — перемещение». Типовые сообщения и их реальные, по моему опыту, причины — в таблице.

Сообщение / симптом	Что это значит на самом деле	Первое, что проверить
«Система геометрически изменяема» на старте	Вантовые/мембранные элементы до натяжения не образуют неизменяемой схемы — это их природа, а не ошибка	Задано ли начальное натяжение всем гибким элементам; нет ли узлов, держащихся только на вантах без преднапряжения
Изменяемость в середине траектории	Смена рабочей схемы: выключилась группа односторонних связей / вант	Протокол предыдущего шага: список выключений; уменьшить шаг; проверить, не выключается ли то, что обязано работать
«Нет сходимости итераций на шаге N»	Шаг велик для текущей жёсткости, либо на шаге происходит событие (пластика, потеря устойчивости)	Раздробить шаги в окрестности N; посмотреть кривую P–δ: не подходим ли к критической нагрузке
Перемещения растут лавинообразно, счёт «висит»	Реальная потеря устойчивости или несущей способности — решатель честно показывает предельную нагрузку	Не лечить, а осмыслить: возможно, конструкция действительно не несёт; проверить уровень нагрузки на последнем сошедшемся шаге
Вырожденные элементы в ходе счёта	Большие перемещения смяли сетку (знакомо по поиску формы)	Стартовая сетка с запасом на искажение; ограничение шага; ревизия зон концентрации
Результат «почти линейный», хотя ждали нелинейность	Нелинейность фактически не включилась: не те типы КЭ, не назначены диаграммы материала, нагрузка ниже событий	Тип конечных элементов и признак нелинейности жёсткостей; сверка с ручной оценкой момента трещинообразования / эйлеровой силы
Ответ зависит от числа шагов	Разбиение недостаточное; возможно, крупный шаг перепрыгивает события	Тест удвоения шагов до стабилизации; локальное дробление у изломов кривой P–δ

Тест-задачи: откалибруйте себя, а не только программу

Прежде чем доверять шаговому решателю боевую модель, я предлагаю прогнать три коротких теста с известными ответами. Это калибровка не столько программы, сколько собственных рук: настроек, привычек, чутья на шаги. Все три модели строятся за вечер.

Тест 1. Провисающая нить (геометрическая нелинейность)

Классика, знакомая читателям с первой статьи цикла. Нить пролётом l = 24 м со стрелой f = 2 м под равномерной нагрузкой q = 2 кН/м. Аналитика для пологой нити: распор H = q·l²/(8f) = 2·576/16 = 72 кН; усилие у опоры N = H·√(1+(4f/l)²) ≈ 75,9 кН. Численно: геометрически нелинейные КЭ нити по параболической начальной геометрии, большая осевая жёсткость EA (чтобы упругие удлинения не искажали сравнение с безрастяжимой аналитикой), 20–40 шагов. Сошлось в пределах процента — руки и настройки в порядке. Бонус-упражнение: уменьшайте EA и наблюдайте, как численное решение уходит от параболической аналитики к упругой нити, — лучшая на свете демонстрация того, что такое «жёсткость гибкой системы».

Тест 2. Стойка у критической силы (потеря устойчивости «по-честному»)

Шарнирная стойка с малым начальным искривлением (например, l/500), сжатие с ростом нагрузки до эйлеровой силы P_cr = π²EI/l². Геометрически нелинейный расчёт должен показать характерную кривую: прогиб растёт медленно, а при P → P_cr — лавинообразно; последний сошедшийся шаг ложится вплотную к аналитическому P_cr. Этот тест учит главному: несходимость у предельной нагрузки — не дефект расчёта, а его результат. Полезно сравнить с линейным расчётом устойчивости — и увидеть роль начального несовершенства.

Тест 3. Железобетонная балка по НДМ (физическая нелинейность)

Однопролётная балка с известным армированием, нагружение до расчётной нагрузки по нелинейной деформационной модели СП 63. Контрольные точки: момент трещинообразования (сверяется с ручным расчётом по СП 63 за десять минут) и излом на кривой «нагрузка — прогиб» ровно в этой точке; прогиб после трещинообразования — с оценкой по пониженной жёсткости. Здесь же отрабатывается дробление шагов у события: прогоните тест крупными шагами и мелкими — и посмотрите, как крупный шаг «съедает» излом.

Резюме

Шаговое решение приближённое всегда; контроль накопленной погрешности — обязанность расчётчика, а не опция.
Шаги назначаются по физике: мелко на мягком старте гибких систем и у событий (трещины, выключения, критическая нагрузка).
Автоматический выбор шага — страховка от несходимости, но не от перепрыгнутых событий: ограничивайте максимальный шаг и дробите принудительно у известных событий.
Тест удвоения шагов и диаграмма «нагрузка — перемещение» — два штатных контроля каждого нелинейного расчёта.
«Монтаж + нелинейность» — задача о наследовании НДС: разделяйте роли нелинейностей, проверяйте стыки стадий, начинайте с пилотной модели.
Несходимость у предельной нагрузки — результат, а не ошибка. Отличать одно от другого учат тест-задачи с известными ответами.

Эта статья закрывает базу шаговых расчётов; сводный навигатор по всем типам нелинейности в «ЛИРЕ 10» — какие КЭ, какие решатели, какие проверки под какую задачу — выйдет отдельным большим материалом. А ближайшее боевое применение сегодняшней кухни читатели уже видели: геометрически нелинейный расчёт вантово-мачтовой защитной конструкции, где шаговое нагружение оттяжек — основа всей расчётной истории.

Литература и нормативные документы

СП 63.13330.2018. Бетонные и железобетонные конструкции. Основные положения (нелинейная деформационная модель).
СП 16.13330.2017. Стальные конструкции.
Перельмутер А.В., Сливкер В.И. Расчётные модели сооружений и возможность их анализа. — М.: СКАД СОФТ, 2011.
Кирсанов Н.М. Висячие и вантовые конструкции. — М.: Стройиздат, 1981.
Crisfield M.A. Non-linear Finite Element Analysis of Solids and Structures. — Wiley, 1991–1997. Vol. 1–2.
Документация ПК «ЛИРА 10»: шаговый метод, нелинейные конечные элементы.