Бимомент и депланация: что происходит с тонкостенным стержнем при кручении

Обычно кручение представляют просто: приложили момент, сечение повернулось, в материале появились касательные напряжения. Для круглого вала эта картинка работает прекрасно. Но у тонкостенного открытого профиля появляется ещё один участник: разные точки сечения хотят сместиться вдоль стержня на разную величину.

Если дать им такую возможность, получим одну картину. Если удержать торец жёсткой заделкой — другую: кроме касательных напряжений возникнет продольное растяжение одних участков и сжатие других. Для описания этой части работы и нужен бимомент.

Эта статья — отдельное пояснение к разбору РСУ и эРСУ в ЛИРА. Здесь я разбираю физику, связываю её с нормами и показываю, какие результаты извлекать из расчётной модели.

Что называется депланацией

Нарисуем на незагруженном стержне поперечную линию. До закручивания все её точки лежат в одной плоскости. После закручивания некруглого профиля точки получают разные продольные смещения: линия выходит из исходной плоскости. Такое коробление поперечного сечения называют депланацией.

Это не обязательно изменение формы самого контура в его плоскости. В классической стержневой модели швеллер остаётся швеллером: его стенка и полки не превращаются в ромб. Однако точки полок и стенки смещаются вдоль продольной оси неодинаково. Местное выпучивание стенки и искажение контура — другие виды деформирования, для которых возможностей этой модели может быть недостаточно.

Феодосьев в § 2.3 подчёркивает, что для некруглого сечения привычная гипотеза плоских сечений неприменима: «Поперечные линии сетки заметно искривлены, следовательно, будут искривлены и поперечные сечения» [1, с. 123].

Слово «свободная» относится к свободе депланации, а не к отсутствию опор вообще. Можно запретить поворот сечения как целого и при этом разрешить его точкам необходимые продольные смещения. Такая идеализированная опора отличается от жёсткой торцевой пластины, удерживающей все волокна.

Два одинаковых стержня — два разных состояния

В схеме ниже одинаковы профиль, длина и приложенный на конце крутящий момент. Слева депланация свободна; справа у корня запрещены и поворот, и депланация. На свободном конце правого стержня депланация не закреплена и внешний бимомент не приложен.

Перемещайте сечение вдоль стержня. В левом варианте крутящий момент передаётся только свободным кручением. В правом он распределяется между свободной и стеснённой составляющими. Выберите нормальные напряжения от бимомента или одну из двух составляющих касательных напряжений.

Продольные волокна A и B выделены отдельно. При равномерном свободном кручении метки каждого волокна сдвигаются вдоль оси вместе: расстояния между соседними метками не меняются в линейной теории. Депланация есть, а дополнительных продольных напряжений от неё нет.

У закреплённого торца смещение подавлено. По мере удаления от опоры депланация развивается, и продольные смещения уже меняются вдоль стержня. Расстояния между метками увеличиваются или уменьшаются: волокно растягивается либо сжимается. Именно это создаёт нормальные напряжения от бимомента.

Важна не депланация сама по себе, а изменение её величины вдоль стержня. Стеснение может быть связано не только с опорой: влияют распределение нагрузки, изменение сечения, соединения и условия на соседних участках.

Бимомент — не ещё один обычный момент

Обычный изгибающий момент характеризует распределение продольных напряжений, растягивающее одну сторону сечения и сжимающее другую. Его размерность — сила, умноженная на длину: например, кН·м.

Бимомент характеризует другую систему продольных напряжений — связанную с секторной координатой сечения. При выбранной нормировке эта система сама по себе не даёт ни продольной силы, ни обычных изгибающих моментов. Представьте две противоположно направленные изгибающие пары в полках двутавра: общий изгибающий момент может взаимно погаситься, а полки всё равно будут напряжены.

$$B={\int }_A{\sigma }_{\text{w}}\omega \mathrm{dA}$$

Здесь B — бимомент; σ_w — продольное нормальное напряжение от депланации; ω — главная секторная координата точки сечения, имеющая размерность площади; dA — элемент площади; A — полное поперечное сечение, по которому выполняется интегрирование. Поэтому размерность B — кН·м², а не кН·м. В этой записи знак B согласован со знаком выбранной секторной координаты.

Для упругого тонкостенного стержня:

$${\sigma }_{\text{w}}=\frac{B\omega }{I_{}\omega },I_{}\omega ={\int }_A{\omega }^2\mathrm{dA}$$

Здесь I_ω — секторный момент инерции, размерность м⁶; σ_w, B, ω и dA имеют тот же смысл. Координата ω описывает распределение продольного коробления по контуру. Это не расстояние от обычной оси и не полярный радиус. Её знак, начало отсчёта и нормировку нужно согласовать с тем, как получен B.

Одна и та же величина B в двух разных профилях может давать совершенно разные напряжения: важны и I_ω, и ω конкретной точки. Поэтому сравнивать опасность сечений только по числу в колонке «бимомент» недостаточно.

Три величины, которые нельзя путать

В обозначениях ПК ЛИРА продольная ось стержня — x. Полный крутящий момент разделяется на две составляющие:

$$M_{\text{x}}=M_{\text{xt}}+M_{\text{xw}}$$

Здесь M_x — полный крутящий момент; M_xt — момент свободного кручения, или кручения Сен-Венана; M_xw — момент стеснённого кручения, также называемый изгибно-крутильным. Все три измеряются в единицах момента. Бимомент B в эту сумму не входит.

Для постоянных жёсткостей руководство ЛИРА приводит зависимости [4, § 4.4]:

$$M_{\text{xt}}=G{J}_{\text{t}}\frac{\mathrm{d\theta }}{\mathrm{dx}}$$

$$M_{\text{xw}}=-E{I}_{}\omega \frac{d^3\theta }{{\mathrm{dx}}^3}$$

Здесь θ — угол закручивания сечения; x — продольная координата; G — модуль сдвига; E — модуль упругости; J_t — момент инерции свободного кручения (в руководстве обозначен J_x); I_ω — секторный момент инерции (в руководстве J_w). Производные показывают, как угол и скорость его изменения меняются вдоль стержня. J_t имеет размерность м⁴, I_ω — м⁶.

При соглашении B = E I_ω θ″ получаем M_xw = −dB/dx. При другом соглашении о знаке бимомента изменится знак связи, но её смысл останется: M_xw связан с изменением B, а не с самим значением B.

Отсюда важный вывод: нулевой M_xw в некотором сечении не доказывает, что B там равен нулю. В частности, в нашем опыте с концевым бимоментом у заделки B ненулевой, а его производная равна нулю. Но в показанной выше консоли с концевым крутящим моментом у заделки M_xw ненулевой. Это две разные задачи.

Что происходит в стенках профиля

У открытой тонкой полосы напряжения свободного кручения меняют знак по толщине: на противоположных поверхностях стенки они направлены противоположно. В первом приближении по толщине распределение линейное. Касательные напряжения стеснённого кручения в тонкостенной модели, напротив, рассматриваются как приблизительно равномерные по толщине, но изменяющиеся вдоль контура. Поэтому на интерактивном сечении эти два поля выглядят по-разному.

Для открытого профиля, собранного из тонких прямолинейных участков, приближённая жёсткость свободного кручения определяется так:

$$J_{\text{t}}\approx \frac{1}{3}{\sum }_i{b}_{\text{i}}{t_{\text{i}}}^3$$

Здесь J_t — момент инерции свободного кручения; b_i — длина i-го участка по средней линии; t_i — его толщина; знак суммы означает сложение вкладов всех участков. Формула относится к тонким открытым стенкам; влияние скруглений и местных концентраций в ней не раскрыто.

Это та же зависимость, к которой Феодосьев приходит в § 2.5, формула (2.32): момент распределяется между участками пропорционально их крутильным жёсткостям. Толщина входит в кубе. Увеличение габарита профиля само по себе ещё не превращает открытое сечение в жёсткую на кручение коробку.

Для свободного кручения учебник также даёт связь M_к = GJ_кθ [1, с. 127, (2.28)]. В этой формуле учебника θ — относительный угол закручивания на единицу длины, а в формулах ЛИРА выше θ(x) — сам угол поворота сечения. Поэтому у ЛИРА стоит производная dθ/dx. M_к — крутящий момент, G — модуль сдвига, J_к — геометрическая характеристика свободного кручения. Одинаковая буква в двух источниках ещё не означает одинаковую величину.

Численный пример: середина стержня, а не только заделка

Возьмём геометрию первой интерактивной схемы: учебный С-профиль с отгибами 200 × 60 × 20 × 2 мм, размеры по средним линиям, без радиусов. Длина 2 м, E = 206 000 МПа, коэффициент Пуассона ν = 0,30; G = E/[2(1 + ν)]. На конце приложен M_x = 20 Н·м.

Для этой идеализированной геометрии J_t = 960 мм⁴ и I_ω ≈ 3,12·10⁹ мм⁶. Это характеристики учебной схемы, а не сортаментного профиля из опыта ЛИРА ниже.

В каждом сечении сумма двух моментов равна 20 Н·м. На свободном конце B равен нулю, потому что там нет ни приложенного бимомента, ни ограничения депланации. Но M_xw там не обязан исчезать: производная B может оставаться ненулевой. Не следует понимать «свободный конец» как автоматическое исчезновение стеснённого кручения во всём прилегающем участке.

Эти числа получены по линейной теории тонкостенных стержней с недеформируемым контуром. Они объясняют распределение усилий, но не являются проверкой местной устойчивости ЛСТК или несущей способности узла.

Почему вертикальная сила через центр тяжести закручивает швеллер

Для кручения важен эксцентриситет относительно центра сдвига, который в классическом сопромате часто называют центром изгиба. У швеллера эта точка может находиться вне материала, по другую сторону стенки от полок. Центр тяжести находится в другом месте.

В § 4.5 Феодосьев выводит положение центра изгиба тонкостенного швеллера постоянной толщины. Рисунок показывает, как поток касательных усилий в полках создаёт момент относительно стенки. Чтобы уравновесить его без закручивания, поперечную силу приходится приложить снаружи контура [1, с. 190–194].

Для показанного в учебнике швеллера без отгибов расстояние от средней линии стенки до центра изгиба равно:

$$a=\frac{3b^2}{h+6b}$$

Здесь a — это расстояние, введённое для удобства в нашей записи; b — ширина полки; h — расстояние между средними линиями полок. В учебнике дано само выражение без обозначения a. Формулу нельзя без изменения применять к профилю с отгибами: они тоже участвуют в потоке касательных усилий.

В следующей схеме я возвращаюсь к С-профилю с отгибами, поэтому положение центра сдвига вычислено по всему контуру. Центр тяжести расположен примерно в 17 мм от стенки в сторону полок, центр сдвига — примерно в 27 мм по другую сторону стенки. Расстояние между ними около 44 мм.

Сила 0,5 кН через центр тяжести создаёт относительно центра сдвига крутящий момент около 22 Н·м:

$$\left|M_{\text{x}}\right|=Fe\approx \mathrm{0,5}·\mathrm{0,044}=\mathrm{0,022}\text{кН}·\text{м}$$

Здесь F — вертикальная сила; e — перпендикулярное расстояние от её линии действия до центра сдвига; M_x — крутящий момент относительно продольной линии центров сдвига. Нулевое плечо относительно центра тяжести не означает нулевого плеча относительно центра сдвига.

Реальный узел может дополнительно удерживать профиль от поворота и депланации, передавать нагрузку через настил или диафрагму. Тогда меняется расчётная схема, а не исчезает физическая причина кручения.

Где бимомент находится в СП 16

Для этого обзора использую СП 16.13330.2017 с изменениями № 1–6 и СП 260.1325800.2023. Статус проверен по официальным карточкам Росстандарта 23.10.2026. В карточке СП 260 утверждённых изменений не перечислено; прежний СП 260.1325800.2016 заменён редакцией 2023 года [2, 3].

Бимомент в СП 16 присутствует прямо в формулах. Это не понятие, которое появляется только в нормах на ЛСТК.

Формула (43) имеет вид:

$$\frac{M_{\text{x}}}{I_{\text{xn}}{R}_{\text{y}}{\gamma }_{\text{c}}}y\pm \frac{M_{\text{y}}}{I_{\text{yn}}{R}_{\text{y}}{\gamma }_{\text{c}}}x\pm \frac{B\omega }{I_{\text{ωn}}{R}_{\text{y}}{\gamma }_{\text{c}}}\le 1$$

Здесь M_x и M_y — изгибающие, а не крутящие моменты относительно главных осей сечения; x и y — координаты рассматриваемой точки; I_xn, I_yn — моменты инерции нетто; B — бимомент; ω — секторная координата этой точки; I_ωn — секторный момент инерции нетто; R_y — расчётное сопротивление стали по пределу текучести; γ_c — коэффициент условий работы. Знаки выбираются по действию усилий в рассматриваемой точке сечения.

Оси СП и локальные оси стержня ЛИРА — не одна система обозначений. В формулах СП x и y лежат в плоскости сечения; в рассмотренной выше записи ЛИРА x направлен вдоль стержня. Переносить колонку Mx из программы в формулу СП только по совпадению букв нельзя.

В формуле (70) вклад бимомента записан через секторный момент сопротивления W_cω, определённый для наиболее сжатого волокна сжатого пояса. Знак «плюс» принимают, если соответствующее усилие вызывает сжатие в этом волокне. Эта проверка не заменяется проверкой прочности по (43), а сама формула (70) не является универсальной формулой устойчивости любого С-профиля.

Формула (105) учитывает условия работы сечения, допускающие соответствующий расчёт; у неё есть ограничения по стали, напряжениям и характеру нагрузки. Для случаев вне её области в 9.1.1 приведена (106). Смысл для нашего разбора прост: нормативная проверка может требовать B, даже когда стандартных N, M и Q уже достаточно для другой проверки.

Что добавляет СП 260 для ЛСТК

СП 260.1325800.2023 специально посвящён холодногнутым оцинкованным тонкостенным профилям и гофрированным листам в пределах своей области применения. Для нашего вопроса основной адрес — раздел 8.10 «Расчёт на прочность при кручении».

Пункт 8.10.1 связывает необходимость учитывать кручение с эксцентриситетом нагрузки относительно центра сдвига. Это ровно тот эффект, который показан во второй интерактивной схеме. По 8.10.2 положение центральной оси и центра изгиба принимается в полном сечении.

Затем возникает принципиальное различие, установленное в 8.10.3:

Эффективное сечение учитывает неполное участие сжатых тонких участков в работе. Но это не команда уменьшить все геометрические характеристики одним коэффициентом: для составляющих напряжений нормы предписывают разные базы.

По 8.10.4 суммарные напряжения определяют по формулам (8.58) и (8.59):

$${\sigma }_{\text{t}}={\sigma }_{\text{N}}+{\sigma }_{\text{Mx}}+{\sigma }_{\text{My}}+{\sigma }_{\text{w}}$$

Здесь σ_t — суммарное нормальное напряжение; σ_N — вклад продольной силы; σ_Mx и σ_My — вклады двух изгибающих моментов; σ_w — вклад депланации, связанный с B. Каждое слагаемое относится к одной рассматриваемой точке и одному сочетанию.

$${\tau }_{\text{t}}={\tau }_{\text{Qx}}+{\tau }_{\text{Qy}}+{\tau }_{\text{tor}}+{\tau }_{\text{w}}$$

Здесь τ_t — суммарное касательное напряжение в обозначениях СП 260; τ_Qx и τ_Qy — вклады поперечных сил; τ_tor — вклад свободного кручения; τ_w — вклад стеснённого кручения. В переключателе интерактивной схемы обозначение τt используется для свободного кручения, то есть соответствует именно τ_tor в этой формуле СП. Направления и знаки слагаемых необходимо согласовать по контуру.

Далее проверяют условия (8.55)–(8.57):

$${\sigma }_{\text{t}}\le R_{\text{y}}{\gamma }_{\text{c}}$$

$${\tau }_{\text{t}}\le R_{\text{s}}{\gamma }_{\text{c}}$$

$$\sqrt{{{\sigma }_{\text{t}}}^2+3{{\tau }_{\text{t}}}^2}\le \mathrm{1,1}{R}_{\text{y}}{\gamma }_{\text{c}}$$

В этих трёх условиях σ_t и τ_t — расчётные суммарные напряжения, определённые выше; R_y и R_s — расчётные сопротивления стали нормальным напряжениям по пределу текучести и сдвигу; γ_c — коэффициент условий работы. При поиске опасного волокна проверяют обе стороны и крайние значения напряжений: отрицательное алгебраическое число не означает автоматически выполненную проверку прочности.

Для совместной проверки нужны напряжения в одной точке, от одного физически допустимого сочетания. Нельзя взять максимальное σ с одной полки, максимальное τ с другой и представить их как реально действующее напряжённое состояние без отдельного обоснования такой оценки.

Раздел 8.10 — проверка прочности. Он не отменяет проверки общей и местной устойчивости, деформаций, соединений и закреплений. В частности, в 8.5.3 прямо оговорена применимость рассматриваемых там проверок сжато-изгибаемых элементов при отсутствии стеснённого кручения. Условия применимости нужно прочитать до подстановки чисел.

Что умеет ПК ЛИРА

Здесь речь именно о ПК ЛИРА 10, а не о другой продуктовой линии со сходным названием. Руководство пользователя описывает признак схемы 7 и стержень типа 7 с дополнительной степенью свободы депланации [4, §§ 4.4, 19; глава 20].

Для такой постановки можно задавать закрепление или освобождение депланации, прикладывать бимомент, получать перемещения и усилия с учётом депланационной жёсткости. В § 4.4 отдельно описан вывод составляющих M_xt и M_xw. В результатах важно различать бимомент B (в отдельных представлениях Mw), момент M_xw и реакцию, сопряжённую депланации W.

У модели должны быть не только подходящий номер КЭ, но и корректные характеристики сечения, включая секторную жёсткость. Дополнительная связь W тоже не назначается автоматически по слову «заделка»: её физический смысл — удержание продольного коробления сечения. Реальный узел может давать полное, частичное либо практически отсутствующее стеснение.

Решение пространственной задачи и нормативная проверка сечения — разные этапы. Наличие материала в базе СП 260 не доказывает, что выбранный модуль конструирования выполняет весь расчёт именно по этому СП. В использованной нами копии ПК ЛИРА 10.2024 R3.2 редактор ЛСТК показывал режим EN 1993-1-1, хотя материал С220 из базы СП 260 был доступен. Поэтому приведённый ниже опыт — проверка усилий с независимой оценкой напряжений, а не отчёт об автоматически выполненном расчёте по СП 260.

Бимомент на опоре: что смотреть в таблицах

Практическое правило для проверенной версии: при контроле бимомента у закреплённого торца не ограничиваться стержневыми РСУ/эРСУ. Опорный бимомент проверять через узловую реакцию по депланации W, сохраняя соответствующее загружение или РСН.

В панели формирования таблиц доступны следующие варианты:

ГСК означает глобальную систему координат. Для нашей задачи нужна именно компонента, сопряжённая депланации, с размерностью силы на длину в квадрате. Реакция по повороту вокруг продольной оси — обычный крутящий момент; она не заменяет эту компоненту.

Экстремальные таблицы удобны для поиска опасного случая, но это не повод механически называть их стержневыми РСУ или эРСУ. Экстремум среди отдельных загружений не заменяет экстремум среди сочетаний. Найдя определяющую строку, возвращаемся к соответствующему загружению или РСН и берём совместные с B усилия для проверки напряжений. Максимумы разных колонок могут относиться к разным случаям.

Для одиночной консоли без дополнительного узлового бимомента реакция по W у заделки и внутренний бимомент примыкающего сечения равны по модулю; знак зависит от принятого направления реакции и внутреннего усилия. В узле с несколькими стержнями реакция — результат их совместного равновесия. Её нельзя автоматически приписать одному из стержней. Также опорная реакция ничего сама по себе не сообщает о максимуме B внутри пролёта: там проверяют эпюру и сечения элемента.

В руководстве ЛИРА § 3.6 описан вывод узловых реакций по направлению W и работа с РСН. Названия четырёх таблиц выше сверены с интерфейсом. При выгрузке необходимо убедиться, что нужная компонента действительно присутствует; пустая ячейка не является доказательством нулевого бимомента.

Почему я отдельно обращаю на это внимание

В контрольном опыте 23.10.2026 использован штатный холодногнутый профиль С-200-2,0, выбранный в группе ЛСТК: высота 200 мм, полка 47 мм, отгиб 18 мм, толщина 2 мм, радиус 4 мм. Консоль длиной 2 м, у корня закреплена депланация. Рассмотрены три взаимоисключающих загружения: растяжение 5 кН и два противоположных концевых бимомента около 20 Н·м².

ЛИРА дала у корня бимомент около 13,1 Н·м² в двух бимоментных загружениях. Результат согласовался с аналитическим решением и повторился после измельчения сетки. Однако корневые стержневые РСУ/эРСУ сохранили только осевое загружение.

Что было проверено независимо: осевое загружение даёт 8,0 МПа, а из полученного B и характеристик профиля следует, что максимальное абсолютное нормальное напряжение от бимомента составляет не менее 14,5 МПа. Это нижняя оценка максимума, а не точный пик напряжения и не число из цветовой мозаики ЛИРА.

Таким образом, расчётная модель получила бимомент, но по одному только сохранённому корневому набору стержневых РСУ/эРСУ этот случай можно упустить. До уточнения алгоритма разработчиком в этой ситуации я контролирую опорный бимомент по реакциям и соответствующим сочетаниям. Наблюдение относится к проверенной версии и постановке; оно не доказывает ошибку всех нормативных проверок программы и не отменяет использование РСУ для других задач.

Как я проверяю такую задачу

1. Нахожу центр сдвига. Проверяю плечо каждой поперечной нагрузки относительно него, а не только относительно центра тяжести.
2. Разбираю закрепления. Отдельно устанавливаю, что удерживает поворот, что удерживает депланацию и где возможна податливость соединения.
3. Проверяю характеристики. Не подменяю момент инерции свободного кручения полярным и не путаю м⁴ с м⁶.
4. Читаю все три результата. M_xt, M_xw и B описывают разные части одного состояния. Для крутящего момента проверяю сумму составляющих.
5. Сохраняю сочетание. Опорную реакцию по W, бимомент в сечении и совместные N, M, Q связываю с одним случаем нагрузки.
6. Выбираю нормативную проверку. Сначала область применения, тип сечения и закрепления; затем полные или эффективные характеристики и напряжения в конкретных точках.

Бимомент перестаёт быть загадочной дополнительной колонкой, когда видно работу волокон. Профиль хочет депланировать; конструкция ограничивает эту свободу; ограничение создаёт продольные напряжения. Наша задача — правильно описать это в схеме, сохранить определяющий случай нагрузки и проверить те напряжения, которые требуют нормы.

Источники

1. Феодосьев В. И. Сопротивление материалов. 10-е изд., перераб. и доп. М.: Издательство МГТУ им. Н. Э. Баумана, 1999. 592 с. Серия «Механика в техническом университете», т. 2. § 2.3, с. 123–128; § 2.5, с. 132–141; § 4.5, с. 190–194. Рис. 2.25, 2.31, 4.39 воспроизведены фрагментами из предоставленного экземпляра для разбора соответствующих явлений. Формулы секторной теории в этой статье не приписываются данным параграфам учебника.
2. СП 16.13330.2017 «Стальные конструкции», изменения № 1–6: официальная карточка и перечень изменений, текст документа с изменениями. Пункты 8.2.1, 8.4.1, 9.1.1. Формулы сверены по изображениям страниц.
3. СП 260.1325800.2023: официальная карточка, страница документа АРСС. Пункты 7.3, 8.5.3, 8.10.1–8.10.4; формулы (8.55)–(8.59).
4. Руководство пользователя ПК ЛИРА 10.12: издание разработчика. § 3.6 — узловые реакции; § 4.4 — депланация и составляющие кручения; главы 19–20 — КЭ и обозначения. Возможности руководства отделены от результатов собственного опыта в 10.2024 R3.2.
5. SCI P385. Design of Steel Beams in Torsion. Руководство Steel Construction Institute: физический смысл свободного и стеснённого кручения, центр сдвига, открытые профили. Дополнительный источник механики; нормативные проверки в статье даны по российским СП.

Интерактивные примеры — линейная аналитическая модель постоянного открытого сечения с недеформируемым контуром. Они не учитывают пластичность, местную потерю устойчивости и податливость реальных соединений. Опыт ЛИРА приведён отдельно, с другой геометрией профиля. Дата сверки источников: 23 октября 2026 года.